Os modelos matemáticos

Por: Manoel Gomes

A REPRESENTAÇÃO DO MUNDO REAL É MUITO COMPLEXA. HÁ MUITOS FATORES COM CARACTERÍSTICAS PRÓPRIAS ENVOLVIDAS EM PROCESSOS FÍSICOS, QUÍMICOS E BIOLÓGICOS. EM RAZÃO DISSO É NECESSÁRIO UTILIZAR METODOLOGIAS, COMO A MODELAGEM MATEMÁTICA, QUE AUXILIAM NA QUANTIFICÇÃO DESSES FATORES CONTROLANTES.

A modelagem matemática ambiental.

(HÍDRIA)- As situações reais são em geral muito complexas para serem representadas na sua totalidade, pois há uma vasta gama de elementos e fatores envolvidos em muitos processos físicos, químicos, e biológicos, que dificultam em muito uma análise quantitativa dos sistemas envolvidos.

Tomemos como exemplo o ciclo hidrológico em bacias hidrográficas, sempre possível de representar em termos de modelos de fluxos e armazenamentos, como o representado na Figura 01.

Figura 01
O sistema: Bacia Hidrográfica.

Repare que toda entrada (input) de água no sistema bacia hidrográfica, se dá pela interceptação da precipitação dentro de seus limites, porém, a saída (output) dessa água do sistema é controlado por vários fatores, como a cobertura vegetal, a superfície topográfica, os solos e os aquíferos subterrâneos (Figura 02).

Figura 02
Representação dos fatores que influenciam
as características do escoamento numa bacia hidrográfica.

Cada um desses fatores, têm seus comportamentos organizados por processos físicos característicos, por exemplo, a retenção em solos e águas subterrâneas envolvem características texturais dos solos, como o conteúdo de argilas, siltes e areias, grau de arredondamento e seleção dos grãos, porosidades e permeabilidades. 

Perceba então, assim como os solos e aquíferos, cada fator de controle possui suas características próprias e devem ser levadas em conta para que a vazão final na saída, exutório da bacia seja estimada, tornando assim o sistema bacia hidrográfica bastante complexo.

A complexidade pode tornar-se maior, se inserirmos modificações no sistema como cultivos e irrigações, urbanizações e alterações nos canais, etc. Considere também, que até mesmo modificações nos regimes de chuvas devido a mudanças climáticas estão entre esses fatores.

O estudo e gerenciamento de todos esses fatores são de caráter multidisciplinar e devem levar em conta várias alternativas de planejamento, considerando as disponibilidades e usos presentes e futuros.

Em razão da quantidade de fatores e respectivas características, modificações, disponibilidades e usos ao longo do espaço e do tempo, é necessário utilizar metodologias que melhor quantifiquem esses fatores controlantes para auxiliar nas etapas de análises de alternativas e na tomada de decisão.

Essas alternativas envolvem a modelagem matemática aplicada aos sistemas ambientais, como no nosso exemplo, para uma bacia hidrográfica.

Uma definição de modelo e usos

Um modelo é definido como uma representação simplificada do sistema real que se deseja analisar. É feita através da representação de algum objeto ou sistema em alguma linguagem de fácil acesso e uso, com o objetivo de entendê-lo e buscar respostas perante diferentes entradas.

Repare que quanto mais fatores controlantes existirem e interagirem, mais complexos os sistemas e, consequentemente, serão mais desafiadores.

A Figura 03 nos mostra um cenário natural já bastante alterado devido às intervenções e atividades humanas, como edifícios em zona urbana; emissão de gases por indústrias; captação de água para abastecimento público, recarga induzida de aquífero; e lançamento de efluentes no rio.

Figura 03
Processos de transporte e transformação de contaminantes no meio ambiente. 
A compreensão destes caminhos e processos são críticos para prever:
 a exposição humana, efeitos na saúde e impactos no ecossistema.

Repare que as atividades humanas impactam o meio ambiente em vários de seus compartimentos: atmosfera, corpos hídricos, solos e águas subterrâneas.

Repare que os impactos alteram não só características físicas desses compartimentos, como o escoamento superficial em direção à drenagem do rio, fluxo das águas subterrâneas, e comportamento dos ventos nas zonas urbanas e rurais, mas também alteram características químicas, como a qualidade do ar, dos solos, e das águas superficiais e subterrâneas.

Repare ainda, que para complicar esse cenário, há humanos expostos a todos esses aspectos: emissões atmosféricas, lançamentos de efluentes e resíduos, que impactaram as características físicas e químicas originais do cenário ambiental.

Todos esses aspectos ambientais possuem substâncias químicas que podem tornar-se móveis e transportadas pelo ar, solo, e pelas águas superficiais e subterrâneas, até as populações humanas dispersas nas zonas urbanas e rurais do cenário, e que podem inalar, ingerir, ou expostas ao contato dermal com as diversas substâncias químicas mobilizadas.

Diante do cenário apresentado temos diversas perguntas para serem respondidas com o objetivo de garantir à saúde da população aos impactos decorrentes das diversas intervenções nos compartimentos ambientais. Essas perguntas podem ser:

• Qual a carga de nutriente que deve ser lançada no lago ou reservatório para reduzir e reverter uma eutrofização crônica e garantir a qualidade da água para consumo da população ?

• Qual é a contribuição devido às fontes industriais e agrícolas num problema de eutrofização ?

• Qual o provável efeito das reduções nas emissões de enxofre e matéria fina particulada para a atmosfera, associado à exposição e impacto na saúde da população ?

• Que efeito estas reduções terão sobre a acidificação de rios e córregos ?

• Que efeitos terão sobre a visibilidade ?

• Quanto tempo a água subterrânea permanecerá contaminada por pesticidas ?

• Quais são as implicações e riscos à saúde humana devido ao consumo de água contaminada por pesticidas ?

• Quais estratégias de remediação levariam a uma redução nestes riscos ?

• Quais produtos alternativos ou design desses produtos resultam na diminuição de impacto ambiental durante seu ciclo de vida ?

Todas estas perguntas levantadas pelas indústrias, comunidades, e fiscalizadores têm como objetivos determinar o tempo e como implementar os programas e controles ambientais.

Os modelos ambientais podem desempenhar um papel importante nas quantificações e análises em respostas a estas perguntas, e, juntamente com estudos de campo e laboratoriais, podem fornecer um melhor conhecimento, na busca do melhor gerenciamento da qualidade e sustentabilidade ambiental.

Nesse contexto, em conjunto com as observações de campo, métodos de amostragens, e análises laboratoriais, os modelos podem ser vistos como testadores de perguntas, ou seja, hipóteses decorrentes das diversas observações dos cenários propostos.

Idealmente, as observações, e a modelagem contribuem ainda para direcionar os estudos aos melhores pontos de amostragem para análises laboratoriais. Nesse sentido servem para melhorar a retroalimentação dos dados ambientais e garantir refinamentos e incertezas nas análises de alternativas propostas.

Um modelo não pode ser tratado como um objetivo, mas como uma ferramenta para atingir um determinado objetivo. Sendo assim, pode ser usado para fins de (i) previsão; (ii) entendimento dos processos; (iii) preenchimento de variáveis de interesse em um período sem levantamentos; e (iv) geração de hipóteses.

Portanto, pode ser utilizado para melhor entender o comportamento de um sistema e antecipar eventos, quantificando impactos de um determinado distúrbio ou anomalias no sistema, antes mesmo que ele ocorra, para que todas as medidas preventivas possam ser tomadas.

Um exemplo de aplicação da modelagem

Considerando o cenário apresentado com as várias intervenções humanas, e questões levantadas, podemos perceber neste estudo de caso, que há para os vários compartimentos ambientas, sequências de eventos em comum que levam a identificação, caracterização, e remediação de um resíduo perigoso. Em geral, pode ser aplicada a seguinte ordem de eventos:

• 1° evento: Identificação de substâncias com potenciais de serem liberadas nos compartimentos ambientais. Isto pode resultar numa rotina de monitoramento das concentrações do poluente numa área, através do conhecimento dos processos industriais da fabricação do poluente numa indústria; de pesquisas que identifiquem as causas de doenças ou quantidade de câncer numa comunidade; ou durante um estudo de avaliação impacto ambiental.

• 2° evento: Identificação de fontes potenciais ou suspeitas de contaminação. A fonte de um poluente é identificada num resíduo perigoso de uma indústria, ou um vazamento teórico pode ser simulado.

• 3° evento: Uso de um modelo de fluxo e transporte de contaminantes. É feita a modelagem ambiental para determinar quais concentrações atingirão áreas específicas de uma região ao longo do tempo, considerando em especial os receptores humanos expostos a essas concentrações.

• 4° evento: Análise dos resultados. Os resultados da modelagem, como a distribuição das concentrações na região de interesse ao longo do tempo, são usados nos cálculos de avaliação para estimar os riscos à saúde humana.

• 5° evento: Tomada de decisão.

Um plano de remediação é negociado entre os cidadãos, órgãos fiscalizadores e as partes responsáveis pelos resíduos perigosos.

As vantagens da aplicação de modelos

Se usarmos a modelagem como uma representação de alguma realidade, teremos algumas vantagens, como:

• É mais barato analisar um sistema com o uso de modelos do que uma análise de um sistema em escala real.

• O custo de cometer erros e/ou realizar experiências em um sistema em escala real é muito maior do que o custo da exploração intensiva num modelo.

• Os processos de tentativa e erro podem ser explorados intensivamente, sendo assim, são ferramentas de aprendizado para a compreensão do sistema, concepção de novas idéias, e linhas de ação.

• Conferem flexibilidade às análises porque é possível “encurtar” o tempo, ou seja, permitir que muitos anos sejam analisados em tempos extremamente curtos.

• Diferentes alternativas podem ser analisadas muitas vezes mediante simples alterações de parâmetros.

• Pode ser útil quando muitas alternativas precisam ser comparadas a partir de uma única base de dados, de modo que, apesar dos dados numéricos não serem necessariamente exatos, os resultados comparativos podem mostrar que uma alternativa é superior às demais, e geralmente válida.

Sobre resultados imperfeitos e incertezas

Modelar e simplificar são conceitos indissociáveis. Como o processo de modelagem simplifica a realidade, haverá prejuízo da representatividade, e se levada a níveis inadequados pode comprometer a utilização do modelo para os objetivos pretendidos.

As simulações são respostas de simplificações de sistemas reais complexos, e portanto, os resultados já são naturalmente imperfeitos. Quanto menos informações disponíveis, maiores são as incertezas dos prognósticos resultantes dos modelos.

Por outro lado, os dados também permitem aferir os modelos matemáticos e reduzir as incertezas da modelagem na estimativa das variáveis de interesse. Atualmente, os modelos são componentes essenciais nos sistemas de suporte de dados, ou seja, a utilização de modelos é o que diferencia um sistema de suporte às decisões de um simples banco de dados.

Isso significa que a modelagem e o monitoramento devem caminhar juntos rumo ao diagnóstico mais preciso dos efeitos sobre um sistema de um determinado fenômeno.

As metodologias apresentadas na nossa disciplina são baseadas na representação do sistema físico por meio de modelos estabelecidos por funções matemáticas, empíricas e conceituais. É por exemplo, assim que é modelamos parte do ciclo hidrológico, hidrodinâmico, químico e biológico.

Através da utilização de um modelo para análise de um projeto, o analista fica mais próximo da realidade física, resultando numa solução mais econômica e segura. O julgamento desse processo físico é indispensável ao analista em qualquer fase da utilização do modelo, pois a análise das alternativas de uso e a conclusão dos resultados devem ser elaboradas para que o modelo tenha real utilidade.

A realimentação

Por Manoel Gomes

A NOÇÃO DE SISTEMAS COM REALIMENTAÇÃO, É IMPORTANTE PARA O ENTENDIMENDO DE SISTEMAS AUTOREGULADORES.

A realimentação

(HÍDRIA)- UM DOS CONCEITOS mais importantes para criar uma compreensão racional de Gaia é a noção de realimentação (feedback), que foi formalmente desenvolvida como ciência da cibernética por Nurbert-Weiner e outros nas décadas de 1940 e 1950, mas cujas origens mais remotas, remontam a invenções como o regulador da máquina de vapor de James Watt.

A própria palavra realimentação é evocativa da noção de que a natureza não passa de uma coleção determinística de complexas partes em interação. Podemos pensar nos circuitos de realimentação como círculos de participação, como manifestações dos modos em que a profunda, espantosa sensibilidade da natureza se organiza em relações significativas que trazem a constância ou a mudança.

Um sistema com realimentação é um sistema em que a mudança num de seus componentes se propaga ao redor de um circuito de componentes inter-relacionados até que, por fim, o componente original experimenta uma nova mudança. 

Os circuitos de realimentação podem ser negativos ou positivos. Numa realimentação negativa, a mudança inicial é contrariada, enquanto numa realimentação positiva a mudança inicial é amplificada.

Primeiro vamos observar um sistema com uma realimentação negativa simples. Observe que temos na figura, duas partes ou componentes que interagem: a fome e o consumo de comida. Observe que a fome e o consumo de comida estão ligados com setas que representam acoplamentos.

Sistema com realimentação negativa. Interação entre a fome e o consumo de comida.

As setas são de dois tipos: contínuas e tracejadas. Uma seta contínua representa um acoplamento direto em que um aumento no componente no início da seta causa um aumento no componente na ponta da seta, e vice-versa. Inversamente uma seta tracejada representa um acoplamento inverso em que um aumento no componente no início da seta causa um decréscimo no componente da ponta e vice-versa.

Em nossa realimentação negativa simples, se a fome aumenta, o consumo de comida aumenta, o que reduz a fome. A realimentação, portanto contrariou um aumento inicial da fome, desencadeando o consumo de comida. 

Vamos rodar pelo circuito mais algumas vezes para explorar seu comportamento a longo prazo. Agora que a fome foi reduzida, o consumo de comida vai baixar, o que vai acabar aumentando a fome, trazendo-nos de volta à situação inicial. Não importa por quanto tempo rodemos pelo circuito, a fome e o consumo de comida vão oscilar em torno de valores médios e jamais vão aumentar ou diminuir sem limite. Esse circuito, como todas as realimentações negativas, é autoregulador.

Acoplamentos diretos e indiretos.

A outra relação básica é a realimentação positiva. A figura apresenta um diagrama de um sistema simples dessa espécie. Nesse exemplo, só existem setas contínuas. Isso significa que, se minhas percepções ficam distorcidas, minha "paranóia" cresce, o que por sua vez dá o retorno aumentando minhas percepções distorcidas, e assim por diante. 

O resultado é que tanto a "paranóia" quanto as percepções distorcidas crescem sem limite. Isso é só um clássico ciclo vicioso.

Sistema com realientação positiva.
Um exemplo de ciclo "vicioso" entre paranóia e percepções distorcidas.

Já que o sistema não possui tendência para autoregulação, imagine que minhas percepções distorcidas me causem tamanha angústia que resolvo falar da minha situação com um amigo íntimo ou, quem sabe, prefiro consultar um terapeuta.  De um modo ou de outro, se a ajuda tem êxito em reduzir as percepções distorcidas, agora a mudança está na direção oposta em vez de um crescimento ilimitado, temos um decréscimo potencialmente ilimitado, um ciclo virtuoso que me leva a níveis crescentes de sanidade e bem estar. 

Observe que não há autoregulação emergente na realimentação positiva, há somente mudança constante, para mais e mais ou para menos e menos.

Um sistema em realimentação negativa, quando exposto à mudança, é negativo com relação a ela, preferindo continuar onde está. Um sistema em realimentação positiva, por outro lado, adora mudar, é extremamente “positivo” com relação a isso.

Na realidade, nem realimentações negativas e positivas podem funcionar sem sensores que detectem desvios mínimos de um ponto determinado. Esses desvios são amplificados antes que o sinal seja mandado de volta ao componente original.

Em Gaia, grande parte da amplificação acontece devido à surpreendente capacidade que todos os seres vivos têm para o crescimento exponencial. Um exemplo clássico vem do mundo das bactérias, em que divisões desenfreadas de uma pequena população inicial gerariam, numa questão de dias, um tal número de novas células que sua massa seria igual à da Terra.

Em Gaia a receptividade extremamente delicada dos seres vivos a seus entornos age como um sensor ambiental para o planeta como um todo.

Sistemas como interações de elementos

Por Manoel Gomes

UM SISTEMA REPRESENTA UM CONJUNTO ORGANIZADO DE ELEMENTOS E DE INTERAÇÕES ENTRE OS ELEMENTOS.

Sistema é qualquer engenho que responda através de uma saída a uma entrada.

(HÍDRIA)- A definição mais antiga e difundida no conhecimento científico, cita que "sistema representa um conjunto organizado de elementos e de interações entre os elementos”.

Chorley e Kennedy (1971) salientaram o aspecto conectivo do conjunto, escrevendo que “um sistema é um conjunto estruturado de objetos e/ou atributos. 

Esses objetos e atributos consistem de componentes ou variáveis (isto é, fenômenos que são passíveis de assumir magnitudes variáveis) que exibem relações discerníveis um com os outros e operam conjuntamente como um todo complexo, de acordo com determinado padrão”. 

Haigh (1985), assinalou que “um sistema é uma totalidade que é criada pela integração de um conjunto estruturado de partes componentes, cujas inter-relações estruturais e funcionais criam uma inteireza que não se encontra implicada por aquelas partes componentes quando desagregadas”.

No entanto, numa visão mais pragmática, a definição de Dooge (1973) é mais sintética e de rápida compreensão, onde “sistema é qualquer estrutura, esquema ou procedimento, real ou abstrato, que num dado tempo de referência inter-relaciona-se com uma entrada, causa o estímulo de energia ou informação; e uma saída, efeito ou resposta de energia ou informação”. 

Em síntese, sistema é qualquer engenho que responda através de uma saída a uma entrada. E cada sistema possui suas próprias características e pode, em função de cada caso, ser subdividido em subsistemas, onde certas características são mais homogêneas.

Como exemplo, temos uma bacia hidrográfica, como um sistema que acionado por uma entrada ou estímulo, ou seja, a precipitação, e através dos diversos fenômenos hidrológicos transforma essa precipitação em vazão. A estrutura do sistema hidrológico depende de características, tais como solo, vegetação, topografia, etc. Os fenômenos que regem o comportamento do sistema são: infiltração, escoamento superficial, percolação, etc.

A bacia hidrográfica como um sistema real.

A bacia hidrográfica como um modelo conceitual.

Temos como equação do balanço hídrico: P – E – Q (± ΔS) = 0, onde:

• P: volume da água precipitado sobre a bacia;

• E: volume que retornou a atmosfera por evaporação e transpiração;

• Q: volume total de água escoada pela bacia durante um intervalo de tempo. Esse escoamento total Q representa a “produção” de água pela bacia, medida pela vazão do exutório durante o período de monitoramento.

• ΔS: refere-se as variações positivas e negativas devido ao armazenamento no interior da bacia. Esse armazenamento ocorre na forma de água retida nas formações geológicas do subsolo, cujo fluxo é muito mais lento que o do escoamento superficial. Os valores positivos (+) ocorrem quando o escoamento total da bacia é alimentado pela água subterrânea (período de estiagem), enquanto, os negativos (-) refletem períodos de recarga (época de chuvas), quando parte da precipitação sofre infiltração, realimentando a água subterrânea, em vez de escoar diretamente da bacia.

A bacia hidrográfica como um modelo matemático.

Em modelagem de sistemas ambientais, Christofoletti (1999) explica que quando os fenômenos são conceituados como sistemas, uma das principais atribuições e dificuldades está em identificar os elementos, seus atributos (variáveis) e suas relações, a fim de delinear com clareza a extensão abrangida pelo sistema em foco.

Praticamente, os sistemas envolvidos na análise ambiental funcionam dentro de um ambiente, fazendo parte de um conjunto maior. Esse conjunto maior, no qual se encontra inserido o sistema particular que se está estudando pode ser denominado de universo, o qual compreende o conjunto de todos os fenômenos e eventos que sofrem alterações e mudanças por causa do comportamento do referido sistema particular.

No âmbito do universo, a fim de estabelecer uma ordem classificatória, podem-se considerar os primeiros como sistemas antecedentes ou controlantes e os segundos como sistemas subsequentes ou controlados. Entretanto, não se deve pensar que exista apenas um encadeamento linear, sequencial, entre os sistemas antecedentes, o sistema que se está estudando, e os sistemas subsequentes.

Através do mecanismo de retroalimentação (feedback), os sistemas subsequentes podem voltar a exercer influências sobre os antecedentes, numa perfeita interação entre todo o universo.

O mecanismo de retroalimentação (feedback).

Para a análise e modelagem ambiental deve-se estar ciente de que um sistema na multiplicidade das características e fenômenos da superfície terrestre é ato mental, cuja ação procura abstrair o referido sistema da realidade envolvente. 

O procedimento de abstrair, procurando estabelecer os componentes e as relações existentes, depende da formação intelectual e da percepção apresentada pelo pesquisador.