Etapas da modelagem

Por: Manoel Gomes

COMO TODO MÉTODO DE PESQUISA, A MODELAGEM UTILIZA UMA ORIENTAÇÃO METODOLÓGICA A SER SEGUIDA.

(HÍDRIA)- O procedimento guia para a construção de modelos consiste numa sequência de etapas que compreendem a obtenção de respostas para quatro perguntas científicas básicas:

• 1ª Pergunta: Qual a questão ? 

• 2ª Pergunta: Como resolvê-lo ?

• 3ª Pergunta: Qual é a resposta ?

• 4ª Pergunta: A resposta está correta ?

Essas quatro perguntas devem n os permitir, respectivamente, compreender um problema, estabelecer um plano para a solução do problema, executar o plano, e verificar a adequação da resposta.

As etapas relacionadas com o procedimento guia são as seguintes:

• Objetivos.

• Hipóteses.

• Formulação matemática.

• Verificação.

• Calibragem.

• Análise e avaliação do modelo.

Existem inúmeros métodos com diferentes etapas, mas o importante é que cada método contemple os objetivos específicos do problema. Diferentes objetivos necessitam de diferentes escalas espaciais e temporais.

Um esquema geral é apresentado a seguir, algumas etapas são bastante genéricas e podem ser tratadas particularmente por cada modelador, outras são padrão e merecem maior detalhamento.

Esquema geral de etapas da modelagem.

Os objetivos e a definição do problema

Partindo de uma situação real, identifica-se o problema a ser estudado, ou seja, o fenômeno observado que se deseja representar matematicamente.

Em seguida obtêm-se os elementos da modelagem necessários para sua solução. Vários são os problemas encontrados nos sistemas ambientais, para os quais um modelo matemático poderia contribuir na geração de hipóteses, ou até mesmo, no comportamento das variáveis de interesse em períodos se observação.

Formulação das hipóteses e simplificação

Consiste em transformar os objetivos e o conhecimento disponível do sistema em enunciados de hipóteses, ou seja, em perguntas a serem respondidas, ou qualitativamente ou quantitativamente.

Nessa etapa, os elementos da modelagem são examinados e selecionados para que preservem as características do problema, ou seja, é feita um a simplificação da realidade e definem-se as funções governantes, os processos, e as variáveis de estado representativas do fenômeno de interesse.

Emprega-se aqui o princípio da parcimônia, que preconiza a representação adequada do comportamento de um processo e/ou sistema por um modelo com o menor número possível de variáveis e/ou parâmetros. 

Por exemplo, em estuários, onde a ação das marés governa a hidrodinâmica do sistema e, consequentemente o transporte de poluentes, o efeito do vento poderia ser desprezado ou simplificado; em reservatórios, os processos verticais são  mais importantes do que os processos horizontais; e contrário de lagos rasos, onde não há estratificações, os processos horizontais são mais importantes.

Em resumo, é uma fase decisiva para a modelagem, na qual o modelador conceberá o chamado modelo conceitual. Se um modelo matemático é uma representação simplificada da realidade descrita usando fórmulas. Um modelo conceitual é a representação simplificada antes da formulação matemática ser anexada.

Ela é a armação onde a matemática será pendurada, então é importante que esteja certo.
Ele define os limites do problema, incluiu a lista completa de hipóteses e presunções necessárias para traduzir valores de entrada para valores de saída.

O modelo conceitual é o coração do modelo trabalhado, e pode ser produzido sem nenhuma análise quantitativa. Isso faz com que haja colaboração entre cientistas que conhecem o que querem traduzir um números e modeladores que podem traduzir informação em números, mas estão inseguros quanto a natureza das hipóteses.

Dedução do modelo matemático

Nesta etapa, substitui-se a linguagem conceitual em que se encontra o problema por uma linguagem coerente, ou seja, as variáveis de estado e os fluxos são descritos em termos matemáticos. Para cada variável de estado, realiza-se um balanço de fluxo, com o objetivo de representar a continuidade em um intervalo de tempo infinitesimal.

Dessa forma, a equação da continuidade para uma variável de estado A pode ser escrita como:

O diferencial de A em relação a t representa o balanço da variável de interesse em um certo intervalo de tempo ou a variação de seu valor naquele intervalo. Por outro lado, o diferencial tem unidade de fluxo e, dessa forma, o balanço de uma variável de interesse deve ser também, em termos de fluxos.

Vale ressaltar que é da responsabilidade do modelador decidir os fatores que serão incluídos em cada termo para representar melhor um determinado processo pelas equações diferenciais.

Resolução do problema matemático

Nesta fase, com recursos matemáticos e computacionais, procura-se uma solução do problema matemático formulado. 

Os métodos matemáticos para solucionar as equações diferenciais podem ser analíticos ou númericos. 

Após a resolução das equações, o passo seguinte é a escolha de uma linguagem computacional apropriada para implementar as equações diferenciais do modelo. Diversos softwares disponíveis no mercado tratam desse assunto, tais como Excel, Maple, Matlab, Fortran, C++, Delphi, e turbo Pascal, etc. 

A escolha do software matemático está diretamente relacionada à intimidade do modelador com o programa, como também à complexidade do problema a ser resolvido.  Alguns programas matemáticos levam vantagens em relação a outros em termos de velocidade de processamento e disponibilidade de funções pré-embutidas neles escritas.

Programas matemáticos.

Calibração e validação do modelo

Na calibração analisa-se a aceitação do modelo encontrado verificando-se a adequação das respostas.

Os parâmetros do modelo são ajustados de forma que a saída do modelo se aproxime dos dados observados. A calibração pode ser realizada por tentativa e erro ou pelo uso de algoritmos que calibram automaticamente os parâmetros, utilizando funções objetivas que minimizam a diferença entre valores calculados e observados.

Para validar o modelo, testam-se os parâmetros calibrados em um outro período com dados observados. O modelo calibrado deverá ser usado para produzir as respostas almejadas nos objetivos que foram especificados.

Caso o modelo seja considerado não válido, ou seja, sua solução não foi próxima à realidade, deve-se retornar à formulação de hipóteses e reiniciar o processo.

Processos de calibração e validação.

Métodos matemáticos de ajuste.

Aplicação do modelo

Caso o modelo seja considerado válido, ele pode ser utilizado em aplicações com objetivos diversos, tais como gerar hipóteses, compreender melhor o problema, explicar o fenômeno, analisar o comportamento das varáveis de estado, fazer previsões e tomar decisões a partir dos resultados observados.

Elementos da modelagem

Por: Manoel Gomes

VARIÁVEIS, EQUAÇÕES, E PARÂMETROS SÃO OS COMPONENTES QUE AUXILIAM NA TRADUÇÃO DOS FENÔMENOS DA NATUREZA EM LINGUAGEM MATEMÁTICA.

Os componentes e a linguagem matemática.

Elementos da Modelagem

(HÍDRIA)- Uma modelagem matemática consiste basicamente de quatro componentes, visando representar um determinado fenômeno de interesse:

• Funções governantes ou variáveis externas;

• Variável de estado;

• Equações matemáticas; e,

• Parâmetros.

Esses componentes auxiliam a tradução em linguagem matemática de um determinado fenômeno encontrado na natureza.

Fenômeno de interesse

São padrões encontrados na natureza que podem ser observados ou constatados (ex. precipitação, escoamento de rios, eutrofização, alteração da estrutura trófica aquática promovida por um distúrbio). 

Tipicamente, os fenômenos são descritos a partir de suposições preestabelecidas quanto à homogeneidade, uniformidade e universalidade das propriedades de seus principais componentes, que incluem o espaço e as relações espaciais, o tempo e o modelo matemático que descreve o fenômeno. 

Entretanto, para modelar os fenômenos com o nível necessário de realismo, essas suposições rígidas são simplificadas e aproximadas de forma que o sistema seja capaz de representar:

• O espaço como uma entidade homogênea tanto nas sua propriedades quanto na sua estrutura;

• As vizinhanças como relações não estacionárias;

• As regras de transição como regras não universais;

• A variação do tempo como um processo regular ou irregular; e,

• O sistema como um ambiente aberto a influências externas.

Para implementar ecossistemas espacialmente dinâmicos com as características mencionadas anteriormente, alguns princípios básicos relativos aos principais elementos desses sistemas devem ser considerados, entre os quais destacam-se a:

• Questão da representação do espaço e do tempo;

• Estrutura do próprio modelo a ser utilizado para a representação do fenômeno espacial;

• A abordagem computacional para implementar esses princípios de forma integrada e consistente.

Funções governantes ou variáveis externas

São funções ou variáveis da natureza que influenciam o estado do ecossistema aquático. Em um contexto de gerenciamento, o problema pode ser formulado da seguinte maneira: se certos fenômenos são variáveis, qual será a influência no estado do ecossistema ? 

O modelo é usado para prever a mudança no ecossistema quando variáveis externas são alteradas no tempo e no espaço. Entrada de carga de poluente, pesca, temperatura, radiação solar, precipitação, evaporação, fluxos da água da entrada e saída no sistema, por exemplo, podem ser consideradas variáveis externas ou funções governantes.

Variável de estado

A variável de estado ou de interesse, ou como o nome indica, o estado do ecossistema. A seleção das variáveis de estado é crucial para a estrutura do modelo, mas na maior parte dos casos essa seleção é trivial. 

Pode-se por exemplo, optar por modelar o estado da eutrofização no lago, onde a escolha da concentração de fitoplâncton e de nutrientes como variáveis de estado é intuitiva. As variáveis de estado estão em função das variáveis externas e podem ser consideradas como a saída do modelo matemático. 

Dependendo do propósito de emprego do modelo, este poderá conter mais variáveis de estado do que realmente precisa, uma vez que uma variável de estado pode explicar outras. Por exemplo, em modelos de eutrofização, a concentração de fitoplâncton é diretamente controlada pela população de zooplâncton, a qual também poderia ser uma variável de estado.

Equações matemáticas

Os processos físicos, químicos, e biológicos (ex. nitrificação, produção primária, mortalidade) são representados no modelo por meio de equações matemáticas, que são as relações entre as variáveis externas e as variáveis de estado. 

Um mesmo processo pode ser encontrado em diferentes ecossistemas aquáticos, sugerindo que a mesma equação pode ser usada em diferentes modelos. 

As relações para cada processo podem ser encontradas na literatura ou desenvolvidas a partir de trabalhos de campo e experimentais. Um determinado processo pode apresentar inúmeras equações matemáticas, cabendo ao modelador decidir qual equação melhor representa um processo com o menor número de simplificações.

Parâmetros

O parâmetro é um valor que caracteriza um determinado processo no ecossistema. Ele pode ser considerado constante para todo um sistemaem particular ou para qualquer parte do sistema, o que indica que um parâmetro também pode ser variável no tempo e no espaço.

Em modelos ecológicos, os parâmetros tem uma definição científica, como por exemplo, a taxa máxima de crescimento do fitoplâncton ou a taxa de consumo do fitoplâncton pelo zooplâncton. 

A complexidade de um modelo é representada pela quantidade de parâmetros empregados. Os modelos simples temuma quantidade menos de parâmetros, enquanto nos modelos complexos o número de parâmetros é grande.

Alguns livros apresentam faixas de valores conhecidos ou sugeridos para alguns parâmetros, contudo, a maioria dos parâmetros está sujeita a ajustes no intuito de aproximar ao máximo a saída do modelo aos valores observados em campo.

Nesses casos são utilizados métodos numéricos, que dão uma aproximação de soluções verdadeiras, dependendo de critérios de convergência, consistência, e estabilidade.

A importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que expressa nossas idéias de maneira clara e sem ambiguidades, além de proporcionar um arsenal de resultados (teoremas) que propiciam o uso de métodos computacionais para calcular suas soluções numéricas.

Os modelos matemáticos podem ser formulados de acordo com a natureza dos fenômenos ou situações analisadas e classificadas conforme o tipo de matemática utilizada: modelos analíticos e numéricos.

As equações diferenciais derivadas na formulação de modelos são simplificações matemáticas de comportamentos reais. Elas expressam os mais importantes processos com a finalidade de representar um determinado fenômeno (ex. comportamento de uma determinada comunidade aquática, a variação de um componente químico da água, um escoamento superficial).

Em modelos ambientais / ecológicos, geralmente essas equações estão em função do espaço e do tempo (variáveis independentes), e existem dois métodos para resolver uma equação diferencial: analíticos e numéricos.

Quando todas as equações em um modelo podem ser resolvidas algebricamente, o modelo é classificado como analítico; mas também há problemas em sistemas ambientais / ecológicos que com frequência são altamente não lineares, uma solução analítica nem sempre é possível (ex. equação de Navier-Stokes), tornando esse método limitado em problemas complexos.