Os tipos de modelos

Por: Manoel Gomes

OS MODELOS MATEMÁTICOS SÃO ABSTRAÇÕES NO SENTIDO DE SUBSTITUIR OBJETOS, FORÇAS, EVENTOS, ETC., POR UMA EXPRESSÃO QUE CONTÉM VARIÁVEIS, PARÂMETROS E CONSTANTES MATEMÁTICAS.

Os tipos de modelos.

(HÍDRIA)- Modelo, de modo geral, pode ser compreendido como "qualquer representação simplificada da realidade" ou de um aspecto do mundo real que surja como de interesse ao pesquisador, que possibilite reconstruir a realidade, prever um comportamento, uma transformação ou uma evolução.

1- Modelos naturais

Traduzem aspectos importantes ou característicos de determinados fenômenos ou sistemas, através de uma representação analógica mais simples, melhor conhecida ou sob um aspecto mais prontamente observável do que as ocorrências da natureza; e divide-se em duas classes: 

• Modelos naturais análogos históricos; e,

• Modelos naturais análogos naturais.

1.1- Modelos naturais análogos históricos

Agrupam os fenômenos (ex. geomorfológicos) em relação às suas posições imaginadas nas sequências controladas pelo tempo, pressupondo que o acontecido antes acontecerá novamente, ou que o evento do passado é importante para o que existe agora.

De modo semelhante, os acontecimentos antigos são interpretados em relação aos acontecimentos atuais, tomando como princípio “o presente é a chave do passado”. Assim, o fenômeno em estudo é considerado como parte de uma seqüência de eventos reais, ndividuais e interrelacionados, com alto grau de similitude.

1.2- Modelos naturais análogos espaciais

Relacionam um conjunto de fenômenos a outros, pressupondo que as observações sobre uma paisagem ou sobre um processo em determinado lugar, auxiliará na compreensão em outros lugares.

A comparação com outras áreas consideradas de alguma forma mais semelhante permitirá que se façam generalizações mais significativas e com maior confiança sobre uma determinada área de estudo.

2- Modelos abstratos

São trabalhados em função da atividade mental de abstração a respeito da ordem na natureza, procurando-se estabelecer uma similitude entre modelo e a realidade.

Essa categoria de modelos é a que mais adequadamente se enquadra nos procedimentos metodológicos convencionais, e foram os primeiros a serem aplicados nas análises quantitativas ligadas as geociências nas décadas de 1930 e 1940, e há três categorias distintas:

• Modelos abstratos físicos;

• Modelos abstratos analógicos; e,

• Modelos abstratos matemáticos.

2.1- Modelos abstratos físicos

Baseiam-se na construção de experimentos com intensão de simular concretamente as características e a composição dos sistemas ambientais, a fim de exercer controle sobre as variáveis e compreender a dinâmica dos processos.

2.1.1- Modelos abstratos físicos experimentais em escala

São rigorosamente imitativos de um segmento do mundo real, sendo compostos em grande parte dos mesmos tipos de materiais.

As vantagens são o alto grau de controle que pode ser conseguido sobre as condições experimentais simplificadas e a maneira pela qual o tempo pode ser comprimido.

São exemplos: a simulação do desenvolvimento de meandros, o movimento de geleiras, a dinâmica litorânea e a construção de barragens.

2.1.2- Modelos abstratos físicos experimentais análogos

Envolvem mudanças radicais nos procedimentos imitativos das condições ambientais pelos quais o modelo é construído.

Os objetivos são mais limitados do que os modelos experimentais em escala, porque se destinam a reproduzir apenas alguns aspectos da estrutura ou rede de relações, identificadas no modelo simplificado ou no sistema idealizado do seguimento do mundo real. Por exemplo, o uso de uma mistura de caulim para simular alguns aspectos da deformação e abertura de fendas num glaciar de vale.

Iidentifica-se três categorias:

• 1ª categoria: modelos geométrica e dinamicamente similares, usando materiais idênticos àqueles encontrados na natureza;

• 2ª categoria: modelos dinamicamente similares, mas geometricamente dissimilares. Utilizam-se relações adimensionais envolvendo os parâmetros dinâmicos, ou mesmo de materiais naturais, mas as relações geométricas escalares são alteradas;

• 3ª categoria: substituição de materiais análogos para simular forma e comportamento dinâmico.

Um modelo físico representa o sistema por um protótipo em escala menor, e nesse tipo de modelo é usada a Teoria da Semelhança para o estabelecimento dos modelos reduzidos.

A Teoria da Semelhança é uma análise dimensional, é uma teoria matemática, que aplicada à física permite tirar maiores proveitos dos resultados experimentais, assim como permite racionalizar a pesquisa e, portanto diminuir-lhe o custo e as perdas de tempo.

Se por construção conseguirmos esta igualdade, dizemos que o fenômeno referente ao protótipo e o mesmo referente ao modelo mantêm uma semelhança completa. Nota-se, que nem sempre isso é possível, e dependerá da experiência do pesquisador em ajustar ao protótipo os resultados obtidos no modelo.

Os modelos são baseada em princípios que utilizados na análise dimensional permite a solução de certos problemas do fenômeno em estudo da análise de modelos convenientes.

Para descrever um fenômeno físico devemos construir funções que interligam grandezas como: espaço, tempo, velocidade, aceleração, força, massa, energia cinemática, trabalho, etc. Após examinar esse conjunto, verificamos que tais grandezas não são independentes, isto é, grande parte delas estão interligadas por leis físicas ou definições.

Quando pesquisamos as diversas grandezas mecânicas, verificamos a existência de somente três grandezas independentes a partir das quais podem ser relacionadas todas às demais.

Temos então, a Base Completa da Mecânica, ou seja, o termo: FLT (força, comprimento, e tempo). Todas as outras grandezas que não fazem parte dessa base são chamadas de Grandezas Derivadas.

A equação monômica que relaciona uma Grandeza Derivada com uma Base Completa da Mecânica é chamada Equação Dimensional.

Como exemplo, sobre a Teoria da Semelhança ou Teoria dos Modelos como uma das formas de simplificar as pesquisas é a construção de um modelo em escala que simulará as condições do fenômeno em escala real, que chamamos de protótipo.

Três condições devem ser atingidas entre o modelo e protótipo para que os resultados das grandezas medidas no modelo tenham valor prático em relação ao seu protótipo, deve existir, são elas:

• 1ª condição: Semelhança geométrica, isto é, podem ter dimensões diferentes, mas formatos iguais;

• 2ª condição: Semelhança cinemática, isto é, as velocidades de partícula de fluído homólogas deverão manter uma relação constante; e,

• 3ª condição: Semelhança dinâmica, isto é, as forças que agem em pontos homólogos deverão manter relações constantes.

2.2- Modelos abstratos analógicos

Os modelos analógicos valem-se da analogia das equações que regem diferentes fenômenos para modelar, no sistema mais conveniente, o fenômeno mais complexo.

Por exemplo, a analogia entre as equações do escoamento hidráulico e de um circuito elétrico, nos permite a representação do sistema hidráulico, complexo e caro, por um circuito de custos reduzidos.

2.3- Modelos abstratos matemáticos

Os modelos matemáticos são abstrações no sentido de substituir objetos, forças, eventos, etc, por uma expressão que contém variáveis, parâmetros e constantes matemáticas.

A semelhança é tão grande que as equações são um tipo de modelo funcional, pelo qual podemos prever características da coisa real mesmo que nunca observamos.

As previsões dos modelos matemáticos podem ser verificadas em relação ao mundo real. Dessa maneira, a correspondência, ou a divergências entre o mundo real e os efeitos previstos pelo modelo indicam o sucesso que se obtém na construção do modelo em relação ao sistema real, e são resolvidos de duas formas: 

• Resolução analítica; e,

• Resolução numérica.

Os modelos matemáticos: analítico e numérico.

2.3.1- Modelos abstratos matemáticos analíticos

Valem-se da analogia das equações, que regem diferentes fenômenos, para modelar no sistema mais conveniente um fenômeno mais complexo.

A sua aplicação envolve a simplificação da derivação das equações que regem um fenômeno (ex. fluxo subterrâneo), e sueas soluções requerem simplificações significativas das hipóteses e premissas, por exemplo, considerar: estado estado estacionário; homogeneidade espacial; mistura completa, etc

Portanto, são baseadas na suposição que os meios são geometricamente regulares e suas propriedades são espacialmente uniformes, por isso devem ser bem justificadas por obervações diretas ou simples adequação para a proposta pretendida.

2.3.2- Modelos abstratos matemáticos numéricos

Muitas vezes, os sistemas não podem ser considerados  como homogêneos, seus contornos não são polígonos regulares, há significativa heterogeneidade espacial, assim como variabilidade temporais, químicas multicomponentes, ou processos de transformação não lineares.

Nesses casos, essas questões são resolvidas por equações diferenciais que podem descrever um fluxo ou um balanço de massa de um poluente sobre células no espaço e/ou passos discretos no tempo.

Temos então, a aplicação dos métodos numéricos em que as equações são resolvidas utilizando técnicas de aproximações numéricas obtidas através da discretização do sistema ambiental que se quer modelar, e da solução de um sistema de equações com as incógntas obtidas da discretização.

As técnicas de soluções numéricas são geralmente requeridas para modelos que contam com significativa heterogeneidade espacial, variabilidade temporal, química multicomponente, ou processos de transformações não lineares.