Elementos da modelagem

Por: Manoel Gomes

VARIÁVEIS, EQUAÇÕES, E PARÂMETROS SÃO OS COMPONENTES QUE AUXILIAM NA TRADUÇÃO DOS FENÔMENOS DA NATUREZA EM LINGUAGEM MATEMÁTICA.

Os componentes e a linguagem matemática.

Elementos da Modelagem

(HÍDRIA)- Uma modelagem matemática consiste basicamente de quatro componentes, visando representar um determinado fenômeno de interesse:

• Funções governantes ou variáveis externas;

• Variável de estado;

• Equações matemáticas; e,

• Parâmetros.

Esses componentes auxiliam a tradução em linguagem matemática de um determinado fenômeno encontrado na natureza.

Fenômeno de interesse

São padrões encontrados na natureza que podem ser observados ou constatados (ex. precipitação, escoamento de rios, eutrofização, alteração da estrutura trófica aquática promovida por um distúrbio). 

Tipicamente, os fenômenos são descritos a partir de suposições preestabelecidas quanto à homogeneidade, uniformidade e universalidade das propriedades de seus principais componentes, que incluem o espaço e as relações espaciais, o tempo e o modelo matemático que descreve o fenômeno. 

Entretanto, para modelar os fenômenos com o nível necessário de realismo, essas suposições rígidas são simplificadas e aproximadas de forma que o sistema seja capaz de representar:

• O espaço como uma entidade homogênea tanto nas sua propriedades quanto na sua estrutura;

• As vizinhanças como relações não estacionárias;

• As regras de transição como regras não universais;

• A variação do tempo como um processo regular ou irregular; e,

• O sistema como um ambiente aberto a influências externas.

Para implementar ecossistemas espacialmente dinâmicos com as características mencionadas anteriormente, alguns princípios básicos relativos aos principais elementos desses sistemas devem ser considerados, entre os quais destacam-se a:

• Questão da representação do espaço e do tempo;

• Estrutura do próprio modelo a ser utilizado para a representação do fenômeno espacial;

• A abordagem computacional para implementar esses princípios de forma integrada e consistente.

Funções governantes ou variáveis externas

São funções ou variáveis da natureza que influenciam o estado do ecossistema aquático. Em um contexto de gerenciamento, o problema pode ser formulado da seguinte maneira: se certos fenômenos são variáveis, qual será a influência no estado do ecossistema ? 

O modelo é usado para prever a mudança no ecossistema quando variáveis externas são alteradas no tempo e no espaço. Entrada de carga de poluente, pesca, temperatura, radiação solar, precipitação, evaporação, fluxos da água da entrada e saída no sistema, por exemplo, podem ser consideradas variáveis externas ou funções governantes.

Variável de estado

A variável de estado ou de interesse, ou como o nome indica, o estado do ecossistema. A seleção das variáveis de estado é crucial para a estrutura do modelo, mas na maior parte dos casos essa seleção é trivial. 

Pode-se por exemplo, optar por modelar o estado da eutrofização no lago, onde a escolha da concentração de fitoplâncton e de nutrientes como variáveis de estado é intuitiva. As variáveis de estado estão em função das variáveis externas e podem ser consideradas como a saída do modelo matemático. 

Dependendo do propósito de emprego do modelo, este poderá conter mais variáveis de estado do que realmente precisa, uma vez que uma variável de estado pode explicar outras. Por exemplo, em modelos de eutrofização, a concentração de fitoplâncton é diretamente controlada pela população de zooplâncton, a qual também poderia ser uma variável de estado.

Equações matemáticas

Os processos físicos, químicos, e biológicos (ex. nitrificação, produção primária, mortalidade) são representados no modelo por meio de equações matemáticas, que são as relações entre as variáveis externas e as variáveis de estado. 

Um mesmo processo pode ser encontrado em diferentes ecossistemas aquáticos, sugerindo que a mesma equação pode ser usada em diferentes modelos. 

As relações para cada processo podem ser encontradas na literatura ou desenvolvidas a partir de trabalhos de campo e experimentais. Um determinado processo pode apresentar inúmeras equações matemáticas, cabendo ao modelador decidir qual equação melhor representa um processo com o menor número de simplificações.

Parâmetros

O parâmetro é um valor que caracteriza um determinado processo no ecossistema. Ele pode ser considerado constante para todo um sistemaem particular ou para qualquer parte do sistema, o que indica que um parâmetro também pode ser variável no tempo e no espaço.

Em modelos ecológicos, os parâmetros tem uma definição científica, como por exemplo, a taxa máxima de crescimento do fitoplâncton ou a taxa de consumo do fitoplâncton pelo zooplâncton. 

A complexidade de um modelo é representada pela quantidade de parâmetros empregados. Os modelos simples temuma quantidade menos de parâmetros, enquanto nos modelos complexos o número de parâmetros é grande.

Alguns livros apresentam faixas de valores conhecidos ou sugeridos para alguns parâmetros, contudo, a maioria dos parâmetros está sujeita a ajustes no intuito de aproximar ao máximo a saída do modelo aos valores observados em campo.

Nesses casos são utilizados métodos numéricos, que dão uma aproximação de soluções verdadeiras, dependendo de critérios de convergência, consistência, e estabilidade.

A importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que expressa nossas idéias de maneira clara e sem ambiguidades, além de proporcionar um arsenal de resultados (teoremas) que propiciam o uso de métodos computacionais para calcular suas soluções numéricas.

Os modelos matemáticos podem ser formulados de acordo com a natureza dos fenômenos ou situações analisadas e classificadas conforme o tipo de matemática utilizada: modelos analíticos e numéricos.

As equações diferenciais derivadas na formulação de modelos são simplificações matemáticas de comportamentos reais. Elas expressam os mais importantes processos com a finalidade de representar um determinado fenômeno (ex. comportamento de uma determinada comunidade aquática, a variação de um componente químico da água, um escoamento superficial).

Em modelos ambientais / ecológicos, geralmente essas equações estão em função do espaço e do tempo (variáveis independentes), e existem dois métodos para resolver uma equação diferencial: analíticos e numéricos.

Quando todas as equações em um modelo podem ser resolvidas algebricamente, o modelo é classificado como analítico; mas também há problemas em sistemas ambientais / ecológicos que com frequência são altamente não lineares, uma solução analítica nem sempre é possível (ex. equação de Navier-Stokes), tornando esse método limitado em problemas complexos.